作者 彭士瑋、王郁豪
研究動機：
一般人看待一件新奇事物，最先關注的莫過於是其擁有的獨特優勢，俗話說「外來的
和尚會念經」，「不常見」在人們心中彷彿變成了「天下無敵」，舉凡灰姑娘的南瓜馬車、 哆啦 A 夢的任意門、哈利波特的掃帚......等，這些神奇的事物，在我們心中，早已產生了 無限的渴望與憧憬，但事實上，它們真如我們所想那樣十全十美嗎?
藉由討論「傑克與魔豆」這個家喻戶曉的主題，讓我們深入地去了解，美好事物背後可 能隱藏的重重危機。
壹、巨人不是住在雲上?
觀看故事本身，這樣的情節真是再好不過了:傑克用老乳牛換得了神奇的魔豆，藉由豆子的藤蔓爬上高空，不但拿回了一大袋金幣、一隻會生金蛋的母雞，和一把會唱歌的金豎 琴，最後還利用砍斷藤蔓摔死了壞巨人，真是可喜可賀啊!光是用乳牛換得財富這部分投資 報酬率就已高到破表，更何況還解決了惡勢力，成為天下大眾的英雄!多麼偉大的一顆豆子 啊!
不過，這麼大的一株豆苗，真不會為生活帶來什麼麻煩嗎?
我們先暫且不討論爬豆子容易摔落、大葉子掉下會砸傷人、遇颱風地震可能整株傾倒等 意外災害發生，假設一切皆順順利利，單就故事裡提到的那些情節，又會使傑克家埋藏著什 麼樣的隱憂呢?
我們可先從豆高開始下手探討。說到豆高，故事中僅描述魔豆「長到雲端」，這固然 是個懾人心扉的情景，但若運用到證明推導上，便顯得十分不明確。為了能有個精確的結 果，我們還是趕緊來算算豆子的實際高度吧!
一、假設
1.路程
先假設傑克以不受傷為前提可跳下之最大高度為 j，巨人可跳下之最大高度為 J，路程為X，故事內為傑克先下魔豆，因此假設傑克先行之距離為 K。此時傑克需走的路程為 X-K-j， 巨人需走的路程為 X-J。
2.時間
(1)下豆莖所需的時間
下豆莖所需的時間為須走之距離除以速度，假設傑克的速度為v，巨人的速度為 V，因此傑克下豆莖所需的時間為
，巨人為
。
(2)砍莖所需之時間
假設砍一下之深度為l，砍的頻率為f，莖的直徑為L，因此砍莖所需之時間為
(假設斧頭夠大)。
3.路程與最低高度及底角之關係
假設底角為θ(rad)，莖所需之最低高度為 h，莖對地面正射影之圓半徑為R，莖一共繞N圈，可得 h = 𝑋𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑁𝐿 ， 以 及 2𝜋𝑅𝑁 = 𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃 ， 可 推 得 𝑋 =
。
4.總結方程式，可得傑克所需的時間
，而巨人至著地所需之時間
。為了順利摔死巨人，因此 t 必須小於 T，可推得方程式
故最大高度 H 為
可發現最大高度與 R 無關
二、代入理想中之數值
1.現實中，人類在不受傷之前提下能跳下之最大高度約為 2m，我們假設傑克可跳下之最大高 度j = 2(m)。我們假設巨人之身材為傑克的 n 倍(意即體積、質量為傑克的𝑛3倍)，因為能跳 下之最大高度和關節、骨骼能承受之最大壓力有關，因此單位面積能受到的最大壓力應為定值，假設傑克某一處所受到最大的壓力為 P，根據位移=
，可得此時傑克在空中停留之時間為
，其中 g 為重力加速度，速度 v 為gt = 2√𝑔，此時該處受的壓力
，其中 M 為某處上方之質量，m 為某處下方之質量，A 為某處之截面積。而巨人能跳之最大高度為 J，速度為𝑣 2，此時空中停留之時間為
，此時巨人膝蓋受的壓力為
(質量為𝑛3倍，截面積為𝑛2倍)，因此n𝑣2= 𝑣 ⇒ 2𝑛2𝐽𝑔 =4𝑔，因此得
，而理想中巨人為傑克之兩倍(n=2)，所以
。
1.假設傑克先行之距離 K 為 50m，傑克速 v 為 1m/s，巨人速 V 為 0.9 m/s，砍莖一下之深度為0.05m，砍莖之頻率 f 為
次/秒，莖的直徑 L 為 2m，底角 θ 為
，而因為莖對地面之正射影之圓半徑不影響，所以不假設 R，可求得最大高度
根據以上計算，我們可以發現魔豆實際只長了 1 公里左右，而對流層的平均頂高(也就 是雲頂)大約是 10 公里，因此除非那天烏雲濃厚，不然魔豆是絕不可能長上雲端的。
那麼，這就表示故事的情節塑造有所錯誤，而顛覆大家童年的想像，巨人就不是住在雲 端囉!那他會住在哪裡啊?由於這實在太離奇了，難以直接利用科學證明，我們就姑且當他 住在如同天空之城般懸浮於空中的小島吧!
貳、不見天日的恐懼
我們現在來想像一下，當你家上空 1 公里處漂浮著一座巨型島嶼，上面住著巨人(可能不只一個，傑克還沒探索完全島，這說明了島嶼肯定非常巨大)，而在這樣的情況下，小島 下方是否可能會產生出大片陰影呢?又或者是說，小島會吸收或反射掉大部分的陽光，使得傑克家附近變得又冷又暗?
究竟陰影會有多大呢?
假設島東西向的長度為 x km，則陰影長度(東西向)為島長 +
( 因為(太陽直徑-島長)與(陰影長度-島長)相似 )
理想中，島的東西長度為 10 km，因此陰影長度=
= 9.986 (𝑘𝑚)
若島和地球上之物體是以同一個角速度行進的，則該島可遮住其下方一點之平均時間(s)為
(假設地球是圓的) =
=21.53(s)，的地方假設地球繞著欲求之點轉(距中心點下 x，向右為正，欲使太陽照不到點，則仰角必須
，右側仰角須
，而因為太陽是以等角速度運行，因此時間為
，又因前者未考慮太陽體積，所以應扣除非中心亦可照到欲求之點之情形，而角度為
，時間為
，即可推得無法被太陽光照到的時間(天)為1 −
，其中 H 為島和地表的距離，且假設地表為一平面、太陽繞著所測之點轉(地球半徑在地球與太陽之距離之前微不足道)，舉例來說島的中心的正下方無法被太陽光照到的時間為
天。
由上述的推論可知，小島會對傑克家附近的氣候造成極大的影響。
1991 年菲律賓皮納圖博火山噴發，造成地表均溫一年內下降了約 0.5 °C，雖然小島 的面積不至於大到能覆蓋全球，但陸地的光線吸收反射量還是遠比火山灰來得多。因 此，我們可以大膽推測，巨人的小島將會造成其下方產生一低溫區塊。
參、另一個蒙古高原?
地表上的風，是由氣壓梯度力所促成的空氣流動，風由高壓吹向低壓，而長時間的高壓反氣旋便會形成冷高壓氣候區，此處氣候乾冷，風由內向外送出。 以上說明了冷高壓區的形成及特色，那我們再回頭看看傑克家吧!前面提到巨人小島的阻擋 使得該區氣溫較低，而區域外部溫度仍保持高溫，因此在這樣的情況下，傑克家容易形成一 個小範圍的冷高壓區，該區域乾燥少雨，而由於小島本身的阻擋和向外吹出的風，將會使傑 克家的雨量更加稀少，可能趨近於 0;另外，此處也將會有如同蒙古高原般的大量風沙向外 吹出。因此綜合上述，傑克家在不久後將會形成一個「乾燥、低溫 、風沙大的寒漠」!
肆、不斷下降的地平線
除了以上所述的氣候變遷，傑克那株巨大的魔豆更會有個普遍的問題—用水過量、地層下陷!究竟魔豆長到 1 公里高後需要多少水量呢? 由於豆子最初是以極快的速度成長，而細胞分裂的速度並沒有那麼快，因此可以推測豆莖內應全都是水。因此魔豆所吸收的水量約等於豆莖體積=截面積×長度=
結論：
整體而言，地層下陷、乾燥且降雨機率幾乎是 0，傑克如果住在都市也許還有自來水能夠仰賴維生，但可憐的是，他住在鄉下，地下水與雨水是最主要的淡水資源來源。
看來傑克目前最好的選擇，大概就是種下所剩的那兩顆魔豆，全家一起搬進巨人的城堡 居住，這樣不但有豐沛的雨水可用，裏頭更有用不完的金銀珠寶可以爽爽過完餘生!不過， 還是記得多帶點衣服和毛毯吧，傑克!大氣高度每上升 1 公里就會下降 6.5 度，可不要著涼了!