作者 蔡丞彥、廖鉑涵、侯奕安
一、研究動機
近日《冰雪奇緣二》上映，締造全球好口碑，片中的特效更是讓人津津樂道。其中第一集的經典畫面，冰雪女王艾沙一邊悠悠哉哉的唱歌，一邊揮舞雙手，就蓋出了一座巨大的冰 城堡，她愉悅的表情讓人狐疑:為什麼看起來這麼輕鬆?於是我們就開始研究:以冰蓋出如 此大的建築物究竟要多大的能量?而艾莎本人在這種情況下又會發生什麼事?
二、背景介紹
在《冰雪奇緣》第一集中，艾莎不小心在舞會上展現了自己的超能力，也讓大家認為他 是怪物並招來士兵要將其抓捕至獄中，不得已的艾莎只能拔腿就跑。在逃跑的過程中，他來 到一座山腳下，在被士兵逼急後為發洩壓抑已久的自卑感和煩躁，艾莎一邊高聲唱出名曲〈Let It Go〉，象徵把自己的過去和煩惱都拋在腦後，一邊用魔法蓋出了一座壯麗的冰宮。
三、過程與結果
一開始，她先造出了一個雪花形的底座，如圖一:
根據官方角色設定，艾莎身高五呎四吋，約為 1.6 公尺。
我們測量班上身高 1.6 公尺的同學張腳(與肩同寬)的平均值約為 40 公分。圖中底座的半徑為艾莎張開腳的 37.5 倍，由比例運算得底面半徑約 15 公尺。
接著艾莎將底座向上抬升。而根據圖二，知道冰的厚度約為艾莎身高的 1.8 倍，故 可估計冰的厚度約 2.9 公尺。
最後，她建好了整座城堡。在圖三中，中央窗口站的(超 級小的)人即是艾莎，城堡高度為人形的 262.5 倍，可估計城 堡高度約為 420 公尺高。為方便計算，我們可以假設城堡為 一圓錐，其各處的冰層厚度都相同。其體積為整體(大圓錐 體積) 內部空心(小圓錐體積)。(如圖四)
外部半徑為 15 公尺，高度為 420 公尺;內部的半徑即外部半徑減去冰層厚度=15-2.9=2.1公尺。同理，內部的高度即外部高度減去冰層厚度(上下皆有)=420-2.9x2=414.2公尺
而城堡的體積
以π =3.14159265358979323846264338327950288419716939937510
代入計算後約等於 35456 
水的汽化熱為 540cal/g、水的熔化熱為 80cal/g，冰的比熱為 0.55cal/ °C。根據官方設定，艾莎所處之艾倫戴亞王國(Arendelle Kingdom)的藍圖是根據一挪威城邦所建立，挪威冬日的日均溫約為-3.5°C。由於在該場景已有積雪出現，假設當時空氣中水滴的溫度為0°C。將一克0°C的水降溫成-3.5°C的冰大約需要
故形成一城堡所放出的熱量:
假設這些全部的熱能皆為艾莎吸收(畢竟他是施術者)
又
(假設艾莎體重 50kg，人的比熱約為0.8cal/g°C)
因此我們得知，原來艾莎為了蓋一座冰宮，會使自己上升到五億七百萬攝氏溫度! 這絕對不只是身體會變成電漿態這麼簡單。要知道，太陽的核心溫度也才 1360 萬度，艾 莎足足是它的 37 倍有餘。燃燒自己的身軀，在懸崖間建立一座座華麗的橋樑，堆起一幢 雄偉的塔樓，只為了給被逼入絕地的自己增添一點點生活的樂趣。一片潔白的雪地中， 矗立著晶瑩剔透的冰宮，一位冰冷高艷(同時也「熱情如火」)的女王居高臨下的鳥瞰整片平原和眼前冉冉升起的夕陽，如此富有詩意的場景與人物，果然是童話故事裡才有的情節。
等等我們是不是忘了什麼?
喔對，艾莎吸收的，20 億 2870 萬卡的熱量。要是你覺得這些能量不怎麼誇張的話， 我們再舉一些例子吧!
四、延伸討論與想像
上面的結論得出艾莎共吸收了
焦耳的能量。現在，假如艾莎從他的好朋友精靈(圖五)那邊得到了一個魔法機器，能夠把這些能量完全吸 收並儲存，再看看他要用在什麼地方。艾莎高興極了!馬上拿起他隨身攜帶的紙筆跟普 通物理課本來發揮他的想像力。
艾莎一開始想到的就是報復把他視為怪物的艾倫戴爾王國，想把它清除的一滴不 剩。首先，一公斤的 TNT 炸藥爆炸所釋放的能量約為 460 萬焦耳。魔法機器中的能量約等於:
也就是說，艾莎吸收的能量足以媲美 20166 公噸的黃色炸藥同時爆炸所放出的能量，其爆炸威力可以將 441 萬輛汽車炸毀;同時也等於 8820 枚戰斧飛彈或半顆廣島原子彈的威 力。所以幸好艾莎的能力是製造冰雪，而不是製造軍火之類的，不然艾倫戴爾應該不會 在世界地圖上待太久。
接著艾莎轉念一想，腦中浮現了他子民純樸的模樣:在仲夏節晚會上一同跳舞的碼 頭工人、每天幫他煮三餐的親切廚子、禮拜二早晨固定經過城堡旁的送報女孩，以及他 最親愛的妹妹安娜。他覺得還是把這些能量用在更有意義的地方好了，像是發電之類的。 他動筆計算一下，那些能量可以轉換成
而台灣每戶每月平均用電量約為 303 度，則這些能量可供台灣住戶使用
差不多是 70 個世紀這麼久，環保人士一定會非常開心。
台灣在四座核能電廠運作下，每年可以產生 215.6 億度電，每分鐘可產出
在影片中艾莎只花了一分半的時間來造出該棟城堡，所以艾莎的發電量大概是等於2.5768x107÷1.5÷10000=1718
1718 座核電廠同時運轉的發電量，而全球也僅有 450 間商轉核電廠而已。 目前全球總發電量有 10%來自於核能發電，所以如果艾莎能夠持續施放他的魔法，那麼 把他吸收的熱持續不斷的轉換成電力，她的發電量將占全球的1718÷450x10%=38.1%，非常逼近燃煤發電所佔的比例(39.3%)，若將「艾莎發電廠」 完全取代燃煤發電廠的話，那全世界每年的碳排量將大幅下降 100 億公噸，這代表著什 麼?代表全球碳排量的 28%!若全部換成由艾莎來發電的話，就能夠大幅抑制現今全球暖化的幅度了，環保主義者就要來膜拜偉大的艾莎了。
想到人民不愁沒電用也不用再付電費，國家經濟狀況勢必上升，艾莎欣慰的笑了。 但他的腦子又浮現了欺騙他妹妹的渣男兼惡棍漢斯王子，心中的復仇心也漸漸燃起。一 向善良的他決定幫漢斯準備世界上最舒服的三溫暖，加熱到他的能量用完為止。「好心」 的艾莎幫漢斯準備了一個10x10x3(公尺)的舒服墳墓......呃我是說浴室，裡面依照標準芬蘭浴的規格填滿了濕度 15%的空氣(圖六)，接下來就可以開始加熱了。
首先，空氣的比熱公式為 C=1.005+1.88H(單位為焦耳/克)，H 為絕對溼度。
濕度 15%的空氣比熱＝1.005+1.88x0.15=1.287J/g
(由於溫度上升空氣的飽和溼度也會上升，對比熱不會有任何影響。)
空氣密度為 1.293x10-3g/cm3，這浴室有1000x1000x300x1.293x10-3/cm3=387900g
假設漢斯的體重為 80kg，人的比熱約為0.8cal/g°C=3.36J/g°C ，要使浴室中的空氣及邪惡的漢斯上升一度需要3.36X80000+387900X1.287=768027J
複習一下，艾莎現在有9.2765x1013J 的能量。所以這舒服的三溫暖可以加熱到:
嗯，一億兩千萬度。雖然跟尊貴的艾莎女王五億七百萬度比不算什麼，但三溫暖結束後漢斯也差不多全熟了，真是大快人心啊!
五、結語
從這篇文章的運算及推理，我們歸納出了艾莎用來蓋冰宮的 
(一)讓艾莎上升到五億七百萬度
(二)轉化為 8840 枚戰斧飛彈好好「款待」艾倫戴爾王國
(三)供應 7087 年的電力 (四)取代全球的燃煤發電廠
(五)每年減少 100 億公噸的二氧化碳排放量 (六)讓漢斯享受舒服的一億兩千萬度的三溫暖
或許這篇文章的空想與演算並沒有實際意義，但在思考的過程中我們都充分的運用 了許多物理知識，也對最後的結果嘖嘖稱奇，同時放聲大笑。科學就是如此的有趣，過 多的理性和僵化不一定有正面的影響，而能夠為生活帶來歡笑並豐富我們一生的，才是 科普的樂趣所在。