這不科學!——魔戒中的數學思辯

作者王治鈞、呂建霆、洪林竹／國立科學工業區實驗高級中學

序章

在世界級奇幻名著《魔戒》改編的電影《魔戒首部曲：魔戒現身》之中，反派角色「炎魔」和全書靈魂角色「甘道夫」在摩瑞亞礦山中的武打場面非常精彩，並因此常常為魔戒粉絲們津津樂道。

讓我們先把目光放回中土大陸的摩瑞亞礦山。在一場驚心動魄的激戰之中，住在礦山中的怪獸——炎魔因腳下的橋樑突然崩落而墜入底下的深淵。就在甘道夫鬆了一口氣的時候，陰魂不散的炎魔在墜落過程中甩出火鞭纏繞住甘道夫的膝蓋，使得甘道夫跌了一跤，並跟炎魔一樣摔了下去。

在電影中，從炎魔開始墜落的那一刻起到甘道夫墜落，整個過程共約32秒。但是，最後甘道夫和炎魔卻「同時」墜入一個地底湖中，並且繼續激戰。

相信不少人在看到這一幕的時候都會被電影逼真的特效和磅礡的畫面所震懾，我們也不例外。而在此同時，我們更聯想到一個問題:

.......是不是有哪裡怪怪的?

讓我們先再次整理條件:

從上述條件我們似乎可以得到一個結論——炎魔應該要比甘道夫早32秒掉到地底湖中才對。電影情節終究只是虛構，是不可能發生的。

但是，這真的完全不可能嗎?
難道《魔戒》不是真的?
難道約翰·托爾金(《魔戒》原著作者)騙了我？
難道我這輩子最愛的小說其實盡是謊話連篇的荒唐之論？

先暫且不論「《魔戒》本來就是歸類在『奇幻作品』中，所以一切皆有可能」，在數理上，電影中的情節究竟有沒有可能呢？

剛才的推導是建立在十分簡單的假設上，所以結果可能和真實的情況不太一樣。接下來，我們將利用一些詳細的資訊分析當他們墜落深淵時到底會發生什麼事，更定量地討論「同時到達底部」這個結果的合理性。

加入「空氣阻力」的條件

在這個段落裡面，我們將會逐一進行下列步驟：

1. 寫出甘道夫和炎魔墜落時所必須遵守的運動方程式
2. 根據電影本身和其他資料估計一些參數(像是質量、空氣密度等)
3. 解微分方程
4. 把之前估計的參數代回式子中解完方程
5. 回答我們提出來的問題 -- 甘道夫和炎魔到底會不會同時墜地？

首先，翻閱課本便可以知道空氣阻力的公式和運動方程式是

下面這個表格分別列出甘道夫和炎魔的參數：

讓我們解釋一下這些估計是怎麼來的。

首先，根據Tolkien Gateway¹ (類似魔戒專屬的維基百科)的資料，甘道夫的身高約1.67公尺，體重則並未提及。如果甘道夫是一個健康的巫師，我們可以預期他的BMI是21，並進一步推得體重大約是60kg。

炎魔的話比較麻煩些，維基百科上寫炎魔站起來約人類的3倍高。假設炎魔的肌肉能承受的壓力和人類的一樣強，那麼肌肉截面積可估計為3²=9倍，能承受的重量也是人類平均重量的3²=9倍。不過我們可以合理地推測炎魔應該比人類強壯一些，所以實際上的重量應該大於60∙9=540(kg)，在這邊估計800kg。

至於阻力係數，則是和身體的形狀有關。根據這篇論文²，人的阻力係數大約是1.2，因為炎魔大致上也是人形，在這邊就假設阻力係數一樣。另外，根據這篇皇家氣象學會的論文³，人體的截面積約0.68m²，而從電影畫面估計，炎魔的截面積大約是6m²。

結論

在上面的文章中，我們用數學與理性的角度分析了電影《魔戒》中經典的一幕——甘道夫大戰炎魔之後，兩者雙雙墜入深淵。

首先，我們對電影中的情況進行辨析，並發現甘道夫與炎魔同時到達底部似乎不符合科學。

接著我們將空氣阻力納入考量並進行運算，但是仍得到相同的結果。換而言之，比較早掉下去的炎魔必定會比甘道夫更早掉到底部。而這結論和電影的畫面並不相符。

但是，這就代表電影都在亂演一通？其實倒也未必。或許是因為我們納入考量的條件不足，抑或是因為參數假設有誤，導致我們的推理出了差錯。

不過這些並不是大問題，因為透過上面這些分析，相信各位看官已經和我們一起體會到了數學的美妙和實用。它不只是一門死板的學科，更是可以應用在生活中、實際地解決問題的有力工具；透過將問題轉化成數學，再把數學答案轉化回問題的解答，很多令人摸不著頭腦的問題都能迎刃而解。

最後，《魔戒》本來就屬於奇幻小說，在看完我們的分析之後，千萬別因為糾結於內容合理性而失去了閱讀這部史詩級巨作的趣味呀！

參考資料

¹http://www.tolkiengateway.net Tolkien Gateway：魔戒維基百科

²Mun Hon Koo, Abdulkareem Sh. Mahdi Al-Oba idi (2013), Calculation of Aerodynamic Drag of Human Being in Various Positions

³J.F.R.McIlveen (2002), The everyday effects of wind drag on people