作者 謝亞彤、林芳緯
「賽局」這個名詞已頻繁的出現在我們生活中，學者們將人類的互動科學化後，成為了 有趣的賽局理論，廣泛的運用在日常生活中。但早在 1944 年數學家馮·諾伊曼與奧斯卡·摩根 斯特恩合作著述《賽局理論與經濟行為》前，西元前四世紀的中國，著名的軍事家孫臏就已 運用賽局理論讓自己在紛亂的戰國時期嶄露頭角了!
話說可憐的孫臏被同窗龐涓陷害，龐涓仗著自己是魏國大將軍砍斷了孫臏的雙腳又在他 臉上刺字，如此侮辱人又不乾脆的痛下殺手，日後對方必定會加倍奉還的。果然天無絕人之 路，一日齊國使者出使魏國首都大梁，孫臏以刑徒的身分秘密拜見使者，以自己三寸不爛之 舌的功力讓使者偷偷把自己運回齊國，並得到齊國將軍田忌的賞識，待孫臏如上賓。不久《史 記孫子吳起列傳》中所記載家喻戶曉的「田忌賽馬」正式展開:
忌數與齊諸公子馳逐重射。孫子見其馬足不甚相遠，馬有上、中、下輩。
齊國的大將軍田忌很喜歡賽馬，並時常與齊國眾多公子賽馬。有一次，他決定挑戰齊威 王的馬匹。他們商量好，將各自的馬分成上，中，下三等。比賽的時候，雙方以上馬對上馬， 中馬對中馬，下馬對下馬。
在這裡我們不用任何公式就能百分之百證明田忌會輸，齊威王與諸公子每一個等級的馬都要比田忌的還強，因為他們是貴族諸侯，區區一個將軍如何與他們匹敵?(當然，如果兩 方實力不分軒輊也不用賽馬了，田忌大概早因功高震主被做掉了。)
如表(一)所示，田忌不出讀者所料的屢戰屢敗。正當他覺得掃興時，他的幕僚孫臏向他走來(等等，他的腳不是斷了嗎?)。孫臏在經過前一場比賽的觀察後胸有成竹的向田忌打 包票:「大人您儘管下注，臣必讓您取得最終的勝利!」
田忌縱使疑惑但為了面子為了錢依舊加碼他的賭金，而齊威王屢戰屢勝，正在興頭，看 到田忌不服輸的舉動，也霸氣的命令部下把前幾次贏得的銀錢全部抬來，還額外押了一千兩 黃金。齊威王輕蔑地說:「那就開始吧!」一聲鑼響，比賽開始了!
孫子曰:「今以君之下駟與彼上駟，取君上駟與彼中駟，取君中駟與彼下駟。」既馳三輩 畢，而田忌一不勝而再勝，卒得王千金。
鑼聲鏜鏜響，田忌的心蹦蹦跳。第一局孫臏先以下等馬對齊威王的上等馬，結果田忌又 輸了。齊威王站起來嘲諷的說:「經過前幾次的慘敗，將軍你還學不到教訓嗎?」田忌沒有答 應。(實在不是因為要故作姿態，而是他的心現在正為了賠輸的錢淌血阿!)接著進行的第二 場比賽，孫臏拿上馬對齊威王的中馬，終於獲勝了一局，這時齊威王開始面露緊張了。最後 一局比賽，孫臏拿中馬對齊威王的下馬，又戰勝了一局。這下，齊威王簡直不可置信，田忌 竟然以同樣的馬匹，三戰兩勝贏了齊威王!如表(二)所示，比賽結果大挫齊威王的傲氣。
田忌與齊威王的賽馬屬於賽局論(Game Theory)中的非合作賽局(Non-cooperative Game)，即人們在利益相互影響的局勢中會如何制定策略使自己的收益最大。在表格中，賭金轉換成 一分，因為在嚴格公平的競爭下，一方的損失也就是對方的得利，這種賽局往往是有輸有贏 拚得你死我活，所以雙方玩家不可能存在合作的可能，而他們的收益與損失的總和永遠為 「零」。
因此我們將孫臏幫助田忌的比賽結果轉換為下表(三):
表格中的(x,y)，x表示田忌的勝負，y表示齊威王的勝負。-1與1則分別代表敗與勝的報酬。田忌獲勝的情形有三種，分別是上對中、上對下、中對下，但同一局(三場)比 賽中不能派出兩次上馬，因此本賽局對田忌的最佳策略，就為下對上、上對中、中對下。
孫臏能選擇正確的出賽馬匹順序為 1/3×1/2×1/1=1/6 但又因為齊威王是按原先規定以上中 下的次序派馬匹，因此獲勝機率就變成1了。(所以故事中田忌能輕鬆取勝，都要歸功於齊威 王是遵守規定的乖寶寶真君子!?)
這場賽馬又可稱為靜態賽局(Static Game)，也就是齊威王與田忌同時採取行動，或者說，雖然不同時但後行動的人不能改變原有的出場順序，即使知道對方的出場序也不能改變自己 的。)
假如今天除了孫臏知己知彼，而齊威王也知道田忌的幕僚中有孫臏這麼厲害的角色，那 齊威王也可以與孫臏一樣顛覆規則，摒棄原本上中下的出場次序。這種賽局即稱為動態賽局 (Dynamic Game)，也就是兩人都能在對方行動後立即應變。如表(四)所示。(1,-1)、(-1,1) 的含意與表(三)相同，而(-3,3)為田忌三場連敗之意。
在更複雜的完全訊息動態賽局中，田忌的勝率為 6/36=1/6
如果有一天，齊威王與田忌雙雙來到現代，上演一場跨時代的穿越戀愛劇(喂!你們拿 錯劇本了!)進行一場 Bromance 的賽馬，按照現今盛行賽馬的香港賽馬會規則，馬匹分成五 等，意思是要比五場。假設五場出賽馬匹次序如故事一樣能隨意替換，那田忌獲勝的機率會 是多少?
首先依據馬匹由強到弱以 1~5 表示，若號碼相同則齊威王勝，會有 5!× 5!=14400 種的 出賽馬匹組合順序。若已知齊威王派出順序為(1,2,3,4,5)的馬匹出賽，則田忌可派(1,5,2,3,4)、(2,1,5,3,4)......等 27 組順序的馬匹出賽以贏得勝利。依此推類，在 14400 種馬 匹出賽組合中，田忌總共有27 5!=3240種組合可贏得勝利，勝率為3240/14400=9/40
對孫臏來說，算出的勝率 9/40 大於原先賽三匹馬的 1/6，我們或許可以預測如果孫臏穿越 時空來到現代，他也會是賽馬場的常勝軍!
時序來到三國時期，天下奇才諸葛丞相也有與孫臏同樣的見解(真是英雄所見略同)，還 特別指出孫臏的賽馬說實為兵說也。
諸葛亮在《權書·強弱》中接著說:「下下之不足以與其上也，吾既知之矣，吾既棄之矣。 中之不足以與吾上，下之不足以與吾中，吾不既再勝矣乎?」諸葛亮深諳權衡之計，唯有放 棄小利，才能保全大局，贏得最終的勝利。「得之多於棄也，吾斯從之矣。彼其上之有三權也， 三權也者，以一權而致三者也。」所以藉著這一場賽馬，孫臏要告訴齊威王的不只是單純的 賽馬而已，更是領軍致勝之道，齊威王能領略這種高深的寓意也不是泛泛之輩，齊國而後能 稱王於中原，自齊威王始也。
這場歷史性的賽馬，大概是孫臏最為人津津樂道的趣事了(人們總是喜歡看弱勢的一方 運用謀略反敗為勝阿!)，不僅讓他能獲得重用，其後他也才得以名顯天下，世傳其兵法，成 為中國軍事史上耀眼的星子。(也讓現今莘莘學子得到一個研究題材)
在現實生活中，我們也能藉著跳脫慣性思維，嘗試考慮對方各種可能的行動方案，並選 擇對自己最有利或最合理的策略(廢話，沒有人喜歡虧損，但正因為沒有人不會虧損，所以 更加凸顯賽局分析的重要性)，如此下回賭博時我們也能親自實踐孫臏的機智贏得更多錢!
參考資料:
· https://kknews.cc/zh-tw/news/3m9vjzg.html 每日頭條田忌賽馬與動態推理
·http://wiki.mbalib.com/zhtw/%E9%9B%B6%E5%92%8C%E8%B5%9B%E5%B1%80 MBA 智庫零和博弈
·https://talkecon.com/sawgame1-5/ 白經濟 賽局奪魂鋸 1.5 ·http://boktakhk4.pixnet.net/blog/category/1456108 田忌賽馬@故事欣賞