作者 黃皓晨、吳承恩 / 林口康橋國際學校
一、摘要
本篇主要討論 Perfect Shuffle 的原理與模算數和各類 Perfect Shuffle 的關係，如三疊和四疊 Perfect Shuffle，並從中發現讀心術的魔術。
二、研究動機
撲克牌是一種十分經典的桌遊，有各種獨特的玩法，如德州撲克，二十一點，都是賭場必備 的項目。而幾乎所有玩法都會需要洗牌，我們就想到了一些問題：如果用 ”perfect shuffle”(分牌個相等的牌堆，各 26 張牌，恰好交錯)的話，第一張牌要”perfect shuffle”多少 次才可以回到原位呢？我們又從這個問題延伸出了其他的問題：如果分成三疊呢？或一次兩 張呢？這些東西之中，會有什麼規律嗎？
三、主要結論與數據
我們把情況分成四種 ： 1.「兩疊」 2.「三疊」 3.「四疊」4.「一次兩張，兩疊」 經過計算，我們得到了以下的結果：
3-1：數據
(ㄧ)兩疊
4 張的時候，排列方法會是(數字代表由上往下每張牌的編號,1 即為由上往下第一張牌)： 1234
1324
1234
(3 次)
6 張的話：
123456
142536
154326
135246
123456
(5 次)
8 張：
12345678
15263748
13572468
12345678
(4 次)
10 張(10 張以後，因 10 容易造成誤會，改用英文字母代替)：
ABCDEFGHIJ
AFBGCHDIEJ
AHFDBIGECJ
AIHGFEDCBJ
AEIDHCGBFJ
ACEGIBDFHJ
ABCDEFGHIJ
(7 次)
12 張：
ABCDEFGHIJKL
AGBHCIDJEKFL
ADGJBEHKCFIL
AHDKGCJFBIEL
AJHFDBKIGECL
AKJIHGFEDCBL
AFKEJDICHBGL
AIFCHKEBJGDL
AEIBFJCGKDHL
ACEGIKBDFHJL
ABCDEFGHIJKL
(11 次)
(二)三疊
6 張：
123456
135246
154326
142536
123456
(5次)
9 張：
123456789
147258369
123456789
(3次)
12 張：
ABCDEFGHIJKL
AEIBFJCGKDHL
AFKEJDICHBGL
AJHFDBKIGECL
ADGJBEHKCFIL
ABCDEFGHIJKL
(6次)
(三)四疊
4 張：
1234
1324
1234
(3次)
8 張：
12345678
13572468
12345678
(3 次)
12 張：
ABCDEFGHIJKL
ADGJBEHKCFIL
AJHFDBKIGECL
AFKEJDICHBGL
AEIBFJCGKDHL
ABCDEFGHIJKL
(6 次)
從以上的研究，我們發現了 perfect shuffle 似乎需要計算餘數，然後我們問了老師，便得知有 一個叫模算數(ModuLar Arithmetic)的算術系統，於是我們先用兩疊來實驗，並觀察 2 在數列 中移動的規律：
以四張為例
1234
1324
1234
在兩疊中，發現會是2K (2 是疊數，K 是洗牌的次數)mod (張數減一)，舉例來說，在兩疊四張中，計算方式即為2K (兩疊) mod 3 其中 mod 3 是因為 4-1。觀察 2 前面的數字個數變化依序為 1 個，2 個，1 個。
再來討論六張
123456
142536
154326
135246
123456
2 前面的數字個數變化依序為 1 個,2 個,4 個,3 個,1 個
在三疊中，計算方式即為 3K (三疊) mod 張數減一
三疊六張:
123456
135246
154326
142536
123456
2 前面的數字個數變化依序為為 1 個,3 個,4 個,2 個,1 個
四疊也一樣
12345678
13572468
15263748
12345678
2 前面的數字個數變化依序為 1 個,4 個,2 個,1 個
因此，52 張 2 疊即為 8 次
3-2：主要結論
根據費馬小定理ap−1 ≡ 1 (mod p)，且由於沒有隨機性，所以在分兩疊偶數張的情況下，不管幾張牌都會回歸。每次洗牌都會有一個固定性可以回歸，張數不同會造成次數不一定。且因為同餘的性質，同一模數的同餘數能相加、減、和乘。
我們利用這個規律，做出了一個魔術。首先，按照順序將牌排好(牌數自訂，但必須是偶數)，然後叫觀眾從中選一張牌，但不能讓自己看到。先偷偷記下那張牌在牌堆中的順序，並利用完美洗牌將牌移動到原本的位置。接著，故作玄虛的假裝再透視牌堆，並說出他選的牌是哪一張(就是牌的位置，超過十三的話就減掉，直到最後的數小於十三)。
研究以後，我們發現並不如原本預測的那般，越多牌就會洗越多次，也並非越多疊就洗越多次。經過研究，我們發現了一個很有趣的規律，也就是模算數。這種計算方式其實很實用，在進位法和時鐘都需要用到。
四、討論
在做這次專題之前，我們並不知道有完美洗牌這種有趣的規律，發現這件事以後覺得 非常新奇。本文花了很多時間在討論偶數張的規律，以及如何從中發想魔術。這一次的結果 雖然沒有達到原先預想的目標，但我們這一次研究仍然學到很多，也對魔術有更多的了解。 我們這一次只找到了一次放一張牌，分成多疊的規律(偶數張)，奇數張的無法看出其中奧秘。日後若有機會，可以繼續研究此相關的話題，希望可以討論出一次排兩張或三張的規 律，或者是尋找奇數張的規律，以及試著延伸更多種魔術。
五、參考資料
1. Youtube(2020/12/14)。52 Card Perfect Shuffles[網站]。取自
2.CSDN(2020/12/24)。Perfect Shuffle 整理（又稱洗牌問題，舊地置換演算法） [網站]。取自 https://bLog.csdn.net/wsccdsn/articLe/detaiLs/8867629
3.科展(2020/1/9)。數學、魔術、撲克牌
4.科展(2020/1/9)。完美洗牌
5. 詐欺遊戲 第二季 第三集