作者 卿尚華、卿承宇 / 台南一中
壹、 前言
一、 研究動機
關於是否應該針對「2019 冠狀病毒」普篩或無症狀患者實施檢測等議題，曾在臺灣引起 相當多的討論，因此，我們決定深入瞭解檢測問題。
二、 研究目的
除了瞭解檢測原理外，我們將應用高中機率與統計的基礎，針對檢測問題建立其數學模 型，並探討提升檢測效能的機制。
貳、 正文
一、 簡介
「2019 冠狀病毒」於全球大流行後引起軒然大波，也嚴重影響了我們的日常生活。 為了早日克服冠狀病毒的威脅，除了疫苗的開發外，病毒檢測技術是另一項重大的議題。 醫療檢測結果可以下表混淆矩陣呈現（吳俊忠。2017）。由於檢測試劑的正確率通常 難以達到百分之百，檢測結果難免會有錯誤，特異性指的是無帶原者（稱為狀況一 H1） 中採檢陰性的比例，一般簡稱為「真陰性」的比例；而敏感性為有帶原者（狀況二 H2） 中採檢陽性的比例，也可稱為「真陽性」的比例。當檢測出陽性時，受限於檢測試劑的 物理特性，有部分可能會是偽（或假）的陽性，檢測出陰性時亦然。由於機率和為一， 「偽陽性」與「偽陰性」分別由檢測試劑的特異性及敏感性所決定。
表一：混淆矩陣。
試想，如果是癌症篩檢，偽陽性的受檢者必定會產生極大的心理負擔；若是傳染力 高的冠狀病毒，偽陰性者恐怕會迅速造成疫情擴大而難以控制，因此，好的檢測試劑需 要最大化特異性與敏感性。如下圖所示，檢測數據m通常會以某種機率分佈呈現，為簡化數學符號，令m的條件機率 
分別代表在H1與 H2發生前提下，檢測數據為m的條件機率，其中P代表機率。因檢測試劑的不完美， 
與 
通常會有部分重疊，是「偽陽性」與「偽陰性」產生的原因。檢測結果仰賴一門 檻值決定，當檢測數據m比門檻值大（小）時，判斷為陽（陰）性。所以，在狀況一 H1下，若 m比門檻值大，則偽陽性發生，機率為紅色斜線面積；在狀況二 H2下，若m比門檻值小，則是偽陰性，機率為藍色斜線面積。因此，當門檻值愈大，偽陽性機率愈小， 而偽陰性機率愈大。所以偽陽性與偽陰性會互相影響，通常是一必須取捨的問題，也就 是說，偽陽性愈大則偽陰性愈小，反之亦然。
二、 研究方法
(一)數學機率模型
由於偵測試劑廠商並不會公開其量測數據的分佈機率，本專題將自行假設其機率分 佈，以驗證我們的想法。我們的問題有兩種可能的狀況，即無帶原者（稱為狀況一H1 ) 與有帶原者（稱為狀況二H2 ）。為探討一廣義的決策法則，我們假設量測數據存在誤差， 但有某種的可靠度，例如：量測數據
，其中，SH1 及SH2 分別代表量測數據在狀況一及狀況二下可能的集合，
代表聯集。為方便研究及呈現我們的想法，我們將假設m為整數，即SH1 及SH2 為整數形成的集合。由於誤差可能存在，SH1 及SH2 中的元素個數都不只一個且可能重疊。 與 代表檢測器量測特性，可藉由檢測器產品特徵化事先得之。由於機率和為1 （Richard Issac, 2002），所以
， 亦然。
(二)單一（single）量測數據
首先，我們先探討最簡單的例子，也就是說，當量測數據只有一個時，我們藉由上 節提出的模型，分析最佳的決策法則。我們先探討一個特例。如果
，其中
代表空集合，最佳的決策D明顯如下：
其中，當D為0/1時，代表判斷結果為H1/ H2 ，因為當
時，由於
， 所以不可能發生狀況二，故可以推論為狀況一，反之亦然。但如果
，當
時，有可能為狀況一或狀況二，這時可利用下式判斷：
單數據法：
(2) 其中， 
。也就是說，「如果發生狀況一的機率大於或等於狀況二發生的機率，就決定狀況一發生，反之亦然。」
(三)複數（multiple）量測數據
假設有N個檢測器，其檢測結果將有一控制中心負責收集所有數據後做最佳判斷。 實務上，可以同一（或不同）廠牌檢測器實施數次檢測，而每個檢測器將判斷結果回報 給中心，中心再利用收集到的結果決定，若認為是狀況一的個數大於檢測器個數的一半， 即 N/2，則判定為狀況一，反之亦然。此判斷方式我們稱為「投票法」：
投票法： 
其中
Di為第i個檢測器的決策，
，mi為第i 個檢測器的量測值。 當判斷式
成立時，結果D=0，即判斷為H1 ，反之，則判斷為H2 。此檢測法類似投票法則，少數服從多數。
(四)實驗設計
任 何 量 測 誤 差 都 可 能 造 成 檢 測 結 果 錯 誤 ， 我 們 首 先 假 設 
，由於不論量測數據m為何，兩種狀況都可能發生，也就是說，我們預計實驗較嚴苛環境下的檢測結果。假設其機率如下所示：
其中 
， 滿足機率和為一。為了方便驗證提出的想法，我們故意 假設兩種狀況下的條件機率是對稱的，故理論上真陰性與真陽性的機率會一樣。此案例 是為了方便驗證提出的想法，可輕易延伸為其他不同的實際情況。
(五)主程式介紹
下表是我們完成的部分模擬主程式，模擬在狀況一H1及各種複數量測數據下的正確 決策機率，即「真陰性」機率。因為「真陰性」機率 +「偽陽性」機率=1 ，即「真陰性」 機率愈高，則「偽陽性」機率愈低，因此本實驗也可看出「偽陽性」機率的結果。程式 中，%符號代表 MATLAB 中不執行的註解，可用來解釋毎一行程式的功能，請參考註解 說明。其他函數，如 sample_gen（為產生隨機樣本函式）等，因篇幅關係則無法一一列 出。
表二： 模擬主程式。
(六)單數據法與投票法複數量測數據效能比較
雖然直觀上有複數量測數據的輔助，檢測成功效能會大幅提升，但是我們仍然很 好奇是否真是如此？針對複數量測數據，每次實驗利用程式分別產生H1及H2之下的量 測數據各 個，至於單數據法則只有一個數據可以使用，即N=1 。我們利用程式共做了M=20000 次隨機實驗，檢測為「真陰性」與「真陽性」的機率如下表。由數據可 知，利用控制中心負責收集所有數據後做最佳判斷，檢測成功效能會大幅提升。我們探討的 及 是左右顛倒的，故狀況一及二的檢測結果理論上會是一樣的，模擬 實驗也呈現類似的結果。
表三： 單數據法與投票法效能比較。
參、 結論
期盼本篇專題能讓社會大眾對於檢測機率問題有正確的觀念。在本篇報告中，我 們解釋了檢測技術的原理，受限於檢測試劑的不完美特性，我們認知到「偽陽性」與 「偽陰性」的存在，使得檢測結果真偽難辨，遂引起諸多議題導致社會爭論不休，正 所謂「真作假時假亦真，假作真時真亦假」！若欲降低「偽陽性」/「偽陰性」，應上 升/下降門檻值，而隨之升高的「偽陰性」/「偽陽性」，則可利用本篇利用複數量測數 據的方法，以提升檢測準確性。首先，我們定義出檢測數據的數學機率模型；接下來， 則確認複數量測數據可提升檢測準確性；最後則撰寫程式模擬驗證提出的想法。由於 無偵測試劑廠商量測數據的分佈機率，本專題遂自行假設其機率分佈，未來可延伸至 量測數據為實數的環境中，也可朝著評估在真實數據下的準確性繼續探索。
肆、 引註資料
註一：吳俊忠（2017）。醫學分子檢驗（五版）。臺北市：五南出版社。 註二：Richard Issac (2002)。機率的樂趣（The Pleasures of Probability）。陳尚婷、陳尚瑜譯， 台北：弘智文化事業有限公司。